Родился в слободе Борисовка Курской губернии (ныне п. Борисовка Белгородской области).
Учился в Курской гимназии.
С 1843 г. — вольноприходящий ученик Академии художеств. Занимался у К. П. Брюллова.
В 1846 г. получил звание неклассного художника исторической и портретной живописи.
Работал на Украине: преподавал рисование в Нежинской гимназии, затем в двух гимназиях и в реальном училище г. Харькова. Его учениками были Г. И. Семирадский, С. И. Васильковский, П. А. Левченко и др.
В 1850-1860-х гг. часто навещал родные курские края, результатом чего явились картины «Окраина слободы у столбовой дороги», «Сельский пейзаж», «Утро» и др.
Известен Д.И. Бесперчий и как иллюстратор произведений А.С. Пушкина, М.Ю. Лермонтова, Н.В. Гоголя и В.А. Жуковского.
Скончался и похоронен в Харькове.
Все художественное наследие Д.И. Бесперчия его жена передала в Харьковский музей изобразительного искусства. При пожаре здания музея во время Великой Отечественной войны (1941-1945) в оккупированном Харькове большое количество его акварелей погибло.
Художественное наследие Д.И. Бесперчия в настоящее время (2004) составляют картины «Сватанье на Гончаровках», «Автопортрет» (1846), «Бандурист», «Икона с тремя святыми», «С поля» и несколько др. картин, а также небольшое количество акварелей и рисунков, которые находятся в Харьковском художественном музее, в Музее украинского изобразительного искусства в Киеве и в Сумском художественном музее.
Ист.: «Художники народов СССР», Библиографический словарь. М., 1970, с. 324.